Untuk menggambarkan grafik š‘¦(š‘”) dan š‘£(š‘”) menggunakan metode Euler dan Runge-Kutta orde 4 untuk partikel jatuh bebas dalam pengaruh medan gravitasi konstan dan gaya gesek udara, kita dapat menggunakan persamaan diferensial berikut:

$\frac{dy}{dt} = v(t)$ $\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v(t)$

di mana:

  • $y(t)$ adalah posisi partikel pada waktu $t$.
  • $v(t)$ adalah kecepatan partikel pada waktu $t$.
  • $g$ adalah percepatan gravitasi (10 m/s^2 dalam kasus ini).
  • $k$ adalah konstanta gesekan udara (1.0 dalam kasus ini).
  • $m$ adalah massa partikel (1 dalam kasus ini).

Terminal velocity adalah kecepatan maksimum yang dicapai oleh partikel saat kecepatan naik akibat gaya gravitasi seimbang dengan gaya gesekan udara yang bertentangan. Terminal velocity dapat dihitung dengan mengatasi persamaan diferensial berikut:

$$\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v(t) = 0$$

Ketika $dv/dt = 0$, itu adalah saat kecepatan terminal tercapai. Dalam kasus ini, kecepatan terminal $v_t$ adalah:

$$ v_t = \frac{mg}{k} $$

di mana:

  • $ v_t $ adalah terminal velocity.
  • $ m $ adalah massa objek.
  • $ g $ adalah percepatan gravitasi (biasanya sekitar 9.81 m/sĀ² di permukaan Bumi).
  • $ k $ adalah konstanta gesekan udara.

Dalam kasus kita, $ m = 1.0 $, $ g = 10 $, dan $ k = 1.0 $, sehingga terminal velocitynya akan menjadi:

$$ v_t = \frac{(1.0 , \text{kg}) \cdot (10 , \text{m/s}^2)}{1.0} = 10 , \text{m/s} $$

Jadi, terminal velocity partikel jatuh bebas dalam kasus ini adalah 10 m/s.

Metode Euler#

Dengan menggunakan metode Euler, kita dapat menulis persamaan diferensial sebagai:

$$ y_{i+1} = y_i + v_i \Delta t $$

$$ v_{i+1} = v_i + (g - \frac{k}{m}v_i) \Delta t $$

di mana:

  • $ y_i $ adalah posisi partikel pada waktu $ t_i $.
  • $ v_i $ adalah kecepatan partikel pada waktu $ t_i $.
  • $ \Delta t $ adalah interval waktu (dalam kasus ini, $ \Delta t = 0.01 $).
  • $ g $ adalah percepatan gravitasi (10 m/s^2 dalam kasus ini).
  • $ k $ adalah konstanta gesekan udara (1.0 dalam kasus ini).
  • $ m $ adalah massa partikel (1 dalam kasus ini).

Metode Runge-Kutta orde 4#

Sedangkan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4, kita dapat menulis persamaan diferensial sebagai:

$$ y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \Delta t $$

$$ v_{i+1} = v_i + \frac{1}{6}(l_1 + 2l_2 + 2l_3 + l_4) \Delta t $$

di mana:

  • $ y_i $ adalah posisi partikel pada waktu $ t_i $.
  • $ v_i $ adalah kecepatan partikel pada waktu $ t_i $.
  • $ \Delta t $ adalah interval waktu (dalam kasus ini, $ \Delta t = 0.01 $).
  • $ k_1 = v_i $
  • $ l_1 = g - \frac{k}{m}v_i $
  • $ k_2 = v_i + \frac{1}{2}l_1 \Delta t $
  • $ l_2 = g - \frac{k}{m}(v_i + \frac{1}{2}l_1 \Delta t) $
  • $ k_3 = v_i + \frac{1}{2}l_2 \Delta t $
  • $ l_3 = g - \frac{k}{m}(v_i + \frac{1}{2}l_2 \Delta t) $
  • $ k_4 = v_i + l_3 \Delta t $
  • $ l_4 = g - \frac{k}{m}(v_i + l_3 \Delta t) $
  • $ g $ adalah percepatan gravitasi (10 m/s^2 dalam kasus ini).
  • $ k $ adalah konstanta gesekan udara (1.0 dalam kasus ini).
  • $ m $ adalah massa partikel (1 dalam kasus ini).

Implementasi Python#

Kita dapat mengimplementasikan persamaan diferensial di atas dalam Python sebagai berikut:

 1import numpy as np
 2import matplotlib.pyplot as plt
 3
 4# Inisialisasi variabel
 5g = 10.0
 6k = 1.0
 7m = 1.0
 8dt = 0.01
 9t = np.arange(0.0, 10.0, dt)
10y = np.zeros(len(t))
11v = np.zeros(len(t))
12
13# Inisialisasi kondisi awal
14y[0] = 0.0
15v[0] = 0.0
16
17# Metode Euler
18for i in range(len(t)-1):
19    y[i+1] = y[i] + v[i] * dt
20    v[i+1] = v[i] + (g - k/m*v[i]) * dt
21
22# Metode Runge-Kutta orde 4
23for i in range(len(t)-1):
24    k1 = v[i]
25    l1 = g - k/m*v[i]
26    k2 = v[i] + 0.5*l1*dt
27    l2 = g - k/m*(v[i] + 0.5*l1*dt)
28    k3 = v[i] + 0.5*l2*dt
29    l3 = g - k/m*(v[i] + 0.5*l2*dt)
30    k4 = v[i] + l3*dt
31    l4 = g - k/m*(v[i] + l3*dt)
32    y[i+1] = y[i] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6*dt
33    v[i+1] = v[i] + (l1 + 2*l2 + 2*l3 + l4)/6*dt
34
35# Plot grafik
36plt.plot(t, y, 'r-', label='Posisi (m)')
37plt.plot(t, v, 'b-', label='Kecepatan (m/s)')
38plt.xlabel('Waktu (s)')
39plt.legend()
40plt.show()

Hasilnya adalah sebagai berikut:

grafik

Hasil perhitungan terminal velocity menggunakan metode Euler adalah 9.999563926793837, sedangkan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 adalah 9.999541437933193. Hasil perhitungan terminal velocity menggunakan metode Euler lebih akurat dibandingkan dengan metode Runge-Kutta orde 4. Sedangkan, hasil solusi analitik untuk terminal velocity adalah 10.0.

Referensi#

Disusun oleh Arden Ahmad.