Seperti yang kita ketahui, massa bulan sebesar $7.34767309 \times 10^{22} \text{ kg}$ dan radius bulan sebesar $1.737 \times 10^6 \text{ m}$. Dengan menggunakan persamaan Newton, kita dapat menghitung percepatan gravitasi bulan sebagai berikut:

$$ g = \frac{GM}{r^2} = \frac{(6.67408 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}) \cdot (7.34767309 \times 10^{22} \text{ kg})}{(1.737 \times 10^6 \text{ m})^2} = 1.625 \text{ m/s}^2 $$

Jadi, percepatan gravitasi bulan adalah $1.625 \text{ m/s}^2$.

Dimana: $G$ adalah konstanta gravitasi universal $6.67408 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}$ $M$ adalah massa bulan $7.34767309 \times 10^{22} \text{ kg}$ $r$ adalah radius bulan $1.737 \times 10^6 \text{ m}$

Untuk menghitung kecepatan jatuh benda setelah selang waktu tertentu, kita dapat menggunakan persamaan kinematika sebagai berikut:

Percepatan bulan = $g$

Untuk mencari kecepatan jatuh benda, kita dapat mengintegralkan percepatan bulan terhadap waktu:

$$ v = \int g , dt = gt + C $$

Dimana $C$ adalah konstanta integrasi. Karena kita ingin mencari kecepatan jatuh benda pada waktu $t = 10$, maka kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai berikut:

$$ v = gt + C $$

$$ v = (1.625 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) + C $$

$$ v = 16.25 \text{ m/s} + C $$

Karena kita ingin mencari kecepatan jatuh benda pada $t = 0$, maka kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai berikut:

$$ v = gt + C $$

Hal ini berarti bahwa konstanta integrasi $C$ adalah $0$, sehingga persamaan kecepatan jatuh benda menjadi:

$$ v = 16.25 \text{ m/s} $$

#Solusi numerik metode Simpson

Dengan menggunakan metode Simpson, kita dapat menuliskan persamaan integral di atas sebagai berikut:

$$ v = \int_0^{10} g , dt = \frac{10}{6} \left[ g(0) + 4g(5) + g(10) \right] $$

$$ v = \frac{10}{6} \left[ (1.625 \text{ m/s}^2)(0 \text{ s}) + 4(1.625 \text{ m/s}^2)(5 \text{ s}) + (1.625 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) \right] $$

$$ v = 16.25 \text{ m/s} $$

Dimana 10/6 merupakan konstanta yang diperoleh dari metode Simpson dengan cara:

$$ \frac{10}{6} = \frac{b-a}{3(n-1)} $$

Dimana $n$ adalah jumlah interval.

#Implementasi Python

Dalam program Python, kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai berikut:

 1def qSimpson(Func, a, b, n):
 2    if (n % 2 == 0): n += 1 # increment n if even
 3    h = (b-a)/(n-1)
 4    s1 = s2 = 0e0
 5    for i in range(2,n-2,2): s1 += Func(a + i*h) # odd-index sum
 6    for i in range(1,n-1,2): s2 += Func(a + i*h) # even-index sum
 7    return (h/3)*(Func(a) + 4*s2 + 2*s1 + Func(b))
 8
 9def g(t):
10    return 1.625
11
12v = qSimpson(g, 0, 10, 100)
13print(v)

Grafik kecepatan jatuh benda#

Dengan menggunakan solusi numerik yang diimplementasikan dalam program Python, kita dapat menghasilkan grafik kecepatan jatuh benda sebagai berikut:

grafik

#Analisa numerik

Untuk mencari kecepatan jatuh benda pada $t = 10$, kita dapat mengintegralkan percepatan bulan terhadap waktu:

$$ v = \int g , dt = gt + C $$

Dimana $C$ adalah konstanta integrasi. Karena kita ingin mencari kecepatan jatuh benda pada waktu $t = 10$, maka kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai berikut:

$$ v = gt + C $$

$$ v = (1.625 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) + C $$

$$ v = 16.25 \text{ m/s} + C $$

Hal ini sesuai dengan persamaan gerak jatuh bebas:

$$ v = gt $$

Sehingga penyelesaian secara analitik dan numerik menghasilkan hasil yang sama.

#Kesimpulan

Dengan menggunakan metode Simpson, kita dapat menghitung kecepatan jatuh benda pada waktu $t = 10$ dengan hasil $16.25 \text{ m/s}$. Hasil ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan persamaan gerak jatuh bebas.

#Referensi

Lampiran#

Implementasi Python#

 1import numpy as np
 2from matplotlib import pyplot as plt
 3
 4def qSimpson(Func, a, b, n):
 5    if (n % 2 == 0): n += 1 # increment n if even
 6    h = (b-a)/(n-1)
 7    s1 = s2 = 0e0
 8    for i in range(2,n-2,2): s1 += Func(a + i*h) # odd-index sum
 9    for i in range(1,n-1,2): s2 += Func(a + i*h) # even-index sum
10    return (h/3)*(Func(a) + 4*s2 + 2*s1 + Func(b))
11
12def percepatan(radius):
13    return 6.6743e-11 * 7.34767309e22 / radius**2
14
15def percepatan(t):
16    return 1.625
17
18moon_radii = 1.7371e6
19height_diff = 10
20radii_diff = moon_radii - height_diff
21
22print(qSimpson(percepatan, 0, 10, 1000))
23
24
25# area under the curve
26x = np.linspace(-2, 12, 100)
27x1 = np.linspace(0, 10, 100)
28y = [percepatan(t) for t in x]
29y1 = [percepatan(t) for t in x1]
30
31# plot the function
32plt.plot(x,y)
33plt.fill_between(x1,y1,0,facecolor='cyan',alpha=0.5)
34plt.xlabel('$t$ (s)')
35plt.ylabel('$g$ (m/s$^2$)')
36
37plt.tight_layout()
38plt.savefig("pe be el duA.png", dpi=300)
39plt.show()

Hasil#

116.25 m/s