Dalam fisika kuantum, komutator antara dua operator observabel adalah alat matematis yang penting dalam mengukur ketidakpastian dan keterkaitan antara observabel-observabel tersebut. Komutator antara dua operator observabel $A$ dan $B$ dinyatakan sebagai berikut:
$[A, B] = AB - BA$
Komutator ini memiliki beberapa properti penting:
-
Komutativitas: Jika $[A, B] = 0$, ini berarti $A$ dan $B$ komutatif. Dalam hal ini, kita dapat mengukur $A$ dan $B$ dengan presisi yang sama tanpa adanya batasan ketidakpastian.
-
Prinsip Ketidakpastian Heisenberg: Prinsip ketidakpastian Heisenberg mengatakan bahwa produk komutator antara posisi ($X$) dan momentum ($P$) suatu partikel adalah konstan Planck tereduksi $ħ$ (h-bar): $[X, P] = XP - PX = iħ$
Prinsip ini menyatakan bahwa semakin pasti kita mengetahui posisi suatu partikel ($ΔX$ semakin kecil), semakin besar ketidakpastian dalam momentum ($ΔP$ semakin besar), dan sebaliknya. Ini adalah salah satu prinsip fundamental dalam fisika kuantum.
- Evolusi Kuantum: Komutator operator Hamiltonian ($H$) dengan operator observabel ($A$) adalah fundamental dalam menentukan bagaimana observabel ini berkembang dalam waktu: $$\frac{dA}{dt} = \frac{i}{ħ}[H, A]$$
Ini adalah persamaan Heisenberg pergerakan observabel, yang menyatakan bahwa perubahan observabel dalam waktu ($dA/dt$) berkaitan dengan komutator $H$ dan $A$.
Komutator digunakan dalam kalkulasi kuantum dan membantu kita memahami sifat-sifat fundamental mekanika kuantum dan hubungan antara berbagai observabel dalam sistem kuantum.
Definisi komutator pada operator digunakan untuk menyatakan prinsip ketidak pastian secara umum, yakni: $$\delta A \delta B \ge \frac{1}{2} | \lang [A,B] \rang |$$
$\Delta A$ didefinisikan sebagai berikut.
$$\Delta A= \sqrt{ \lang A \rang ^2 - \lang B \rang ^2}$$
jika dua operator saling komut, maka kedua operator tersebut memiliki fungsi eigen yang sama secara simultan. Fungsi eigen yang sama itu terkait dengan nilai eigen real dan terdefinisi secara eksak dari tiap operator. teorema ini sangat penting karena yidak dipenuhi oleh beberapa operator penting fisika. Misalnya akan ditemukan bahwa operator posisi tidak komut dengan operator momentum, sehingga nilai eigen keduanaya tidak terdefinisi secara eksak. hal tersebut sesuai denga ketidak pastian heisenberg
