Simpson’s Rule
Dalam analisis numerik, Simpson’s Rule adalah metode integrasi numerik yang digunakan untuk menghitung integral tertentu dari suatu fungsi. Metode ini didasarkan pada gagasan untuk membagi interval integrasi menjadi beberapa sub-interval yang sama lebarnya, dan kemudian menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi tersebut menggunakan polinomial kuadrat.
Rumus Simpson’s Rule
Rumus Simpson’s Rule untuk menghitung integral tertentu dari fungsi $f(x)$ pada interval $[a,b]$ adalah sebagai berikut:
$$ \int_a^b f(x) , dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a + b}{2}\right) + f(b) \right] $$
di mana $h = \frac{b-a}{n}$ adalah lebar setiap sub-interval, dan $n$ adalah jumlah sub-interval.
Ilustrasi Simpson’s Rule
Gambar di atas menunjukkan ilustrasi metode Simpson’s Rule. Interval integrasi $[a,b]$ dibagi menjadi empat sub-interval yang sama lebarnya, dengan lebar setiap sub-interval $h = \frac{b-a}{4}$. Luas daerah di bawah kurva fungsi $f(x)$ pada setiap sub-interval dihitung menggunakan polinomial kuadrat. Luas total daerah di bawah kurva fungsi tersebut dihitung dengan menambahkan luas daerah di bawah setiap sub-interval.
Keakuratan Simpson’s Rule
Keakuratan metode Simpson’s Rule tergantung pada jumlah sub-interval yang digunakan. Semakin banyak sub-interval yang digunakan, semakin akurat hasil perhitungan.
Kelebihan dan Kekurangan Simpson’s Rule
Kelebihan metode Simpson’s Rule adalah:
- Metode ini memiliki akurasi yang lebih tinggi daripada metode trapezoidal.
- Metode ini dapat digunakan untuk menghitung integral fungsi-fungsi yang kompleks.
Kekurangan metode Simpson’s Rule adalah:
- Metode ini lebih kompleks untuk diimplementasikan daripada metode trapezoidal.
Penerapan Simpson’s Rule
Metode Simpson’s Rule dapat diterapkan untuk berbagai masalah integrasi numerik. Beberapa contoh penerapannya adalah:
- Menghitung integral fungsi-fungsi yang sulit diintegrasikan secara analitik.
- Menentukan nilai integral tertentu yang diperlukan dalam penyelesaian persamaan diferensial atau persamaan diferensial parsial.
- Menghitung integral fungsi-fungsi yang digunakan dalam aplikasi fisika atau teknik.
Contoh Aplikasi Simpson’s Rule
Misalkan kita ingin menghitung integral dari fungsi $f(x) = x^2$ pada interval $[0, 1]$.
Dengan menggunakan metode Simpson’s Rule, kita dapat menghitung integral tersebut sebagai berikut:
$$ \int_0^1 x^2 , dx \approx \frac{1}{3} \left[ f(0) + 4f\left(\frac{0 + 1}{2}\right) + f(1) \right] $$
$$ \int_0^1 x^2 , dx \approx \frac{1}{3} \left[ 0 + 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 \right] $$
$$ \int_0^1 x^2 , dx \approx \frac{1}{3} \left(\frac{5}{4}\right) $$
$$ \int_0^1 x^2 , dx \approx \frac{5}{12} $$
Nilai integral yang sebenarnya dari fungsi $f(x) = x^2$ pada interval $[0, 1]$ adalah $\frac{1}{3}$. Oleh karena itu, hasil perhitungan dengan menggunakan metode Simpson’s Rule memiliki kesalahan sebesar $\frac{1}{12}$.
Semakin banyak sub-interval yang digunakan, maka kesalahan perhitungan akan semakin kecil.
berikut code python Simpson’s-Rule
1from math import *
2def Func(x): return (x*x*x) * exp(-x)
3def qSimpson(Func, a, b, n):
4#----------------------------------------------------------------------------
5# Integrates function Func on interval [a,b] using Simpson’s rule with n
6# (odd) integration points
7#----------------------------------------------------------------------------
8 if (n % 2 == 0): n += 1 # increment n if even
9 h = (b-a)/(n-1)
10 s1 = s2 = 0e0
11 for i in range(2,n-2,2): s1 += Func(a + i*h) # odd-index sum
12 for i in range(1,n-1,2): s2 += Func(a + i*h) # even-index sum
13 return (h/3)*(Func(a) + 4*s2 + 2*s1 + Func(b))
14
15a = 0e0; b = 1e0; n = 10000
16print("I = ",qSimpson(Func,a,b,n))
