Dalam analisis numerik, metode trapezoidal adalah metode integrasi numerik yang sederhana dan efisien untuk menghitung integral tertentu dari suatu fungsi. Metode ini didasarkan pada gagasan untuk membagi interval integrasi menjadi beberapa sub-interval yang sama lebarnya, dan kemudian menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi tersebut menggunakan polinomial linier.
Rumus Trapezoidal
Rumus trapezoidal untuk menghitung integral tertentu dari fungsi $f(x)$ pada interval $[a,b]$ adalah sebagai berikut:
$$ \int_a^b f(x) , dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right] $$
di mana $h = \frac{b-a}{n}$ adalah lebar setiap sub-interval, dan $n$ adalah jumlah sub-interval.
Ilustrasi Trapezoidal Rule
Gambar di atas menunjukkan ilustrasi metode trapezoidal. Interval integrasi $[a,b]$ dibagi menjadi empat sub-interval yang sama lebarnya, dengan lebar setiap sub-interval $h = \frac{b-a}{4}$. Luas daerah di bawah kurva fungsi $f(x)$ pada setiap sub-interval dihitung menggunakan polinomial linier. Luas total daerah di bawah kurva fungsi tersebut dihitung dengan menambahkan luas daerah di bawah setiap sub-interval.
Keakuratan Trapezoidal Rule
Keakuratan metode trapezoidal tergantung pada jumlah sub-interval yang digunakan. Semakin banyak sub-interval yang digunakan, semakin akurat hasil perhitungan.
Kelebihan dan Kekurangan Trapezoidal Rule
Kelebihan metode trapezoidal adalah:
- Metode ini sederhana dan efisien untuk diimplementasikan.
- Metode ini dapat digunakan untuk menghitung integral fungsi-fungsi yang kompleks.
Kekurangan metode trapezoidal adalah:
- Metode ini tidak memiliki akurasi yang tinggi untuk fungsi-fungsi yang memiliki kurva yang tajam.
- Metode ini dapat menyebabkan kesalahan aproksimasi yang signifikan jika fungsi $f(x)$ memiliki ekstremum di dalam interval integrasi.
Penerapan Trapezoidal Rule
Metode trapezoidal dapat diterapkan untuk berbagai masalah integrasi numerik. Beberapa contoh penerapannya adalah:
- Menghitung integral fungsi-fungsi yang sulit diintegrasikan secara analitik.
- Menentukan nilai integral tertentu yang diperlukan dalam penyelesaian persamaan diferensial atau persamaan diferensial parsial.
- Menghitung integral fungsi-fungsi yang digunakan dalam aplikasi fisika atau teknik.
berikut berupkakan contoh program trapezoidal
1# Evaluates an integral using the trapezoidal rule
2from math import *
3def Func(x): return (x*x*x) * exp(-x)
4#============================================================================
5def qTrapz(Func, a, b, n):
6#----------------------------------------------------------------------------
7# Integrates function Func on interval [a,b] using the trapezoidal rule
8# with n integration points
9#----------------------------------------------------------------------------
10 h = (b-a)/(n-1)
11 s = 0.5*(Func(a) + Func(b))
12 for i in range(1,n-1): s += Func(a+i*h)
13 return h*s
14# main
15a = 0e0; b = 1e0; n = 10000
16print("I = ",qTrapz(Func,a,b,n))
ouput :
1I = 0.11392894187017792
